Cada que se considera una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$, donde $\mathbb{F}$ puede ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, esta inducen naturalmente dos aplicaciones lineales $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$ y $A^{\top}:\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^{m}$, las que cuales permiten determinar cuatro subespacios vectoriales, dos subespacios vectoriales en $\mathbb{F}^{n}$ y dos subespacios vectoriales en $\mathbb{F}^{m}$, conocidos usualmente como espacio nulo, espacio fila, espacio nulo izquierdo y espacio columna de $A$ respectivamente. Por lo tanto el objetivo en esta ocasión es estudiar estos conjuntos y las relaciones entre ellos.
Para comenzar veamos la definición de nulo y rango de una matriz $A$. El espacio nulo de la aplicación $A:\mathbb{F}^m\to \mathbb{F}^n$ es el conjunto $N(A)\subseteq \mathbb{F}^{m}$ dado por \begin{equation} N(A)=\{x\in \mathbb{F}^{n}:Ax=0\} \end{equation} y el espacio column o rango es el conjunto $R(A)\subseteq \mathbb{F}^{n}$ dado por \begin{equation} R(A)=\{y\in \mathbb{F}^{n}:y=Ax, \forall\,x\in \mathbb{F}^{m}\}. \end{equation}
En la Figura 1 se muestra el espacio nulo y el espacio rango asociados con la matriz $A$. En el gráfico se puede apreciar que para la función $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$ el espacio nulo es un subconjunto de $\mathbb{F}^{m}$, mientras que el espacio columna es un subconjunto de $\mathbb{F}^{n}$. Recuerda que la ecuación homogénea $Ax=0$ siempre tiene como solución trivial $x=0$. Esta propiedad implica que $O_{_{\mathbb{F}^{m}}}\in \mathbb{F}^{m}$ también pertenece a $N(A)$ y $O_{_{\mathbb{F}^{n}}}\in \mathbb{F}^{n}$ también pertenece a $R(A)$.
Figura 1. El nulo y el rango de la aplicación $A:\mathbb{F}^m\to \mathbb{F}^n$.
El lector puede observar que realmente $A$ tiene «cuatro subespacios vectoriales» asociados que son $N(A)$, $R(A)$, $N(A^{\top})$ y $R(A^\top)$. Observe que el espacio nulo y el espacio columna son subespacios de espacios diferentes. Más precisamente una matriz $A\in \mathbb{F}^{m,n}$ define las aplicaciones $A:\mathbb{F}^{m}\to \mathbb{F}^{n}$, $A^{\top}:\mathbb{F}^{n}\to \mathbb{F}^{m}$ y los conjuntos $N(A)$, $R(A^\top)\subseteq \mathbb{F}^{m}$ y $N(A^\top), R(A)\subseteq \mathbb{F}^{n}$.
En efecto para ver que $N(A)$, $R(A)$, $N(A^{\top})$ y $R(A^\top)$ son subespacios vectoriales, recordemos que un subconjunto $U\subset \mathbb{F}^{m}$ es cerrado bajo combinaciones lineales si para cada par de elementos $x,y\in U$ y todos los escalares $a, b\in \mathbb{F}$ se tiene que $ax+by\in U$.
Los conjunto $N(A)$ y $R(A)$ son cerrados bajo combinaciones lineales dado la función inducida por $A$ es una transformación lineal. En efecto, considere dos elementos arbitrarios $x_{_1}, x_{_2}\in N(A)$, entonces $Ax_{_1}=0$ y $Ax_{_2}=0$. Entonces, para cualquier par de elementos $a,b\in \mathbb{F}$ se tiene \begin{equation} A(ax_{_1}+bx_{_2})=aAx_{_1}+bAx_{_2}=0 \end{equation} por lo tanto $(ax_{_1}+bx_{_2})\in N(A)$. Por lo tanto, $N(A)\subseteq \mathbb{F}^m$ es cerrado bajo combinaciones lineales. Análogamente, considere dos elementos $y_{_1}, y_{_2}\in R(A)$, esto es, existe $x_{_1}, x_{_2}\in \mathbb{F}^{m}$ tal que $y_{_1}=Ax_{_1}$ y $y_{_2}=Ax_{_2}$. Entonces, para cualquier $a, b\in \mathbb{F}$ se tiene \begin{equation} (ay_{_1}+by_{_2})=aAx_{_1}+bAx_{_2}=A(ax_{_1}+bx_{_2}) \Rightarrow (ay_{_1}+by_{_2})\in R(A). \end{equation} Por lo tanto, $(A)\subset \mathbb{K}^{n}$ es cerrado bajo combinaciones lineales.
Por otro lado si $A=[A_{_{:1}},\dots, A_{_{:n}}]$, entonces cualquier elemento $y\in R(A)$ puede ser expresado como $y=Ax$ para algún $x\in \mathbb{F}^{n}$, esto es, \begin{equation} y=Ax =[A_{_{:1}},\dots, A_{_{:n}}]\left[\begin{array}{c} x_{_1}\\ \vdots \\ x_{_n} \end{array}\right]=A_{_{:1}}x_{_1}+\cdots + A_{_{:n}}x_{_n}\in gen(\left\{A_{_{:1}}x_{_1},\dots, A_{_{:n}}x_{_n}\right\}). \end{equation} Por está razón es que el espacio columna y el rango son el mismo espacio. El lector puede verificar que cualquier elemento de la forma $y=A_{_{:1}}x_{_1}+\cdots + A_{_{:n}}x_{_n}$ es también un elemento de $R(A)$, por lo tanto $y=Ax$.
El nulo y el rango de una matriz cuadrada caracterizan si la matriz es invertible o no. Esto se establece en el siguiente resultado:
Teorema 1. Dada una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,n}$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- La matriz $A^{-1}$ existe;
- $N(A)=\{0\}$;
- $R(A)=\mathbb{F}^{n}$.
Veamos ahora algunas de las relaciones que existen entre los cuatro espacios asociados a un par de matrices $A$ y $B$, tales que la matriz $B$ se pueda obtener mediante operaciones de fila sobre la matriz $A$. Asumiendo la siguiente notación: $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B$ para indicar que la matriz $A$ se puede transformar en la matriz $B$ mediante operaciones de Gauss sobre las filas de $A$. Entonces se tiene el siguiente teorema:
Teorema 2. Sea la matrices $A, B \in \mathbb{R}^{m,n}$, entonces:
- $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B\Longleftrightarrow N(A)=N(B)$;
- $A\stackrel{fila}{\longleftrightarrow}B\Longleftrightarrow R(A^\top)=R(B^\top)$.
Es fácil de ver que este último resultado es verdadero, dado que las operaciones de Gauss no cambian las soluciones de sistemas lineales, por lo que el sistema lineal $Ax = 0$ tiene exactamente las mismas soluciones de $x$ como el sistema lineal $Bx = 0$, es decir, $N (A) = N (B)$. La segunda propiedad también es cierta, ya que las operaciones de Gauss en las filas de $A$ son equivalentes a las operaciones de Gauss sobre las columnas de $A^{\top}$. Ahora bien, es fácil de ver que cada una de las operaciones de Gauss sobre las columnas de $A^{\top}$ no cambian el $R(A^{\top})$, por lo tanto, $R(A^{\top})=R(B^{\top})$.
Sin embargo no podemos pensar que el párrafo anterior es suficiente para una prueba del teorema. Veamos una presentación más detallada de las ideas anteriores. Una forma es utilizar la multiplicación de matrices para expresar la propiedad de que las operaciones de Gauss no cambian las soluciones de sistemas lineales. Uno puede probar lo siguiente: Si se tiene las matrices $A$ y $B$ de orden $n\times m$ relacionadas por las operaciones de Gauss en sus filas, entonces existe una matriz $G$ de orden $m × m$ invertible $GA = B$. La prueba de esta propiedad es simple. Cada una de las operaciones de Gauss se asocia con una matriz invertible, $E$, llamada una matriz de Gauss elemental. Cada matriz de Gauss elemental es invertible, ya que cada operación de Gauss siempre se puede revertir. El resultado de varias operaciones de Gauss sobre una matriz $A$ es el producto de las matrices de Gauss elementales apropiados en el mismo orden que se realizan las operaciones de Gauss. Si se obtiene la matriz $B$ de la matriz $A$, haciendo operaciones de Gauss dadas por matrices $E_{_i}$, para $i = 1,\dots k$, en ese orden, podemos expresar el resultado del método de Gauss de la siguiente manera: \begin{equation} E_{_k}\cdots E_{_1}A=B\hspace{0.5cm} G=E_{_k}\cdots E_{_1} \Longrightarrow GA =B. \end{equation} Donde cada matriz elemental de Gauss es una matriz invertible, y por lo tanto $G$ también es invertible.
Considere dos matrices $A$ y $B$ de orden $m\times n$ estan relacionadas por operaciones de Gauss en sus filas, entonces existe una matriz de orden $G$ de orden $m\times m$ tal que $GA = B$. Esta observación es la clave para mostrar que $N(A) = N(B)$, ya que dado cualquier elemento $x \in N(A)$ \begin{equation} Ax=0\Longleftrightarrow GAx=0, \end{equation} donde la equivalencia se sigue del hecho de que $G$ es invertible. Entonces es simple (¡Lo simple es una provocación para que tu lo verifiques!) ver que \begin{equation} 0=GAx=Bx \Longleftrightarrow x\in N(B). \end{equation} Por lo tanto, se tiene que $N(A)=N(B)$. Ahora veamos la afirmación apuesta. Si $N(A)=N(B)$ esto significa que sus formas escalonada reducidas $E_{_A}, E_{_B}$ son los mismas, es decir, $E_{_A}=E_{_B}$. Esto significa que existen operaciones de Gauss en las filas $A$ que la transforman en la matrix $B$
Ahora mostraremos que $R(A^{\top})= R(B^{\top})$. Considere un elemento $x\in R(A^{\top})$, entonces existe un elemento $y\in \mathbb{F}^{m}$ tal que \begin{equation} x=A^{\top}y = A^{\top}G^{\top}(G^{\top})^{-1}y=(GA)^{\top}\bar{y}=B^{\top}\bar{y},\hspace{0.5cm} \bar{y}=(G^{\top})^{-1}\bar{y} \end{equation} Veamos que dado un $x\in R(A^{\top})$, entonces $x\in R(B^{\top})$, esto es, $R(A^{\top})\subset R(B^{\top})$. La implicación opuesta se prueba de igual forma: Considere $x\in R(B^{\top})$ entonces existe $\bar{y}\in \mathbb{F}^{m}$ tal que \begin{equation} x=B^{\top}\bar{y}=B^{\top}(G^{\top})^{-1}G^{\top}\bar{y}=(G^{-1}B)^{\top}y=A^{\top}y,\hspace{0.5cm} y=G^{\top}\bar{y}. \end{equation} Por lo tanto se ha mostrado que para cualquier $x\in R(B^{\top})$, entonces $x\in R(A^{\top})$, es decir, $R(B^{\top})\subset R(A^{\top})$. Por lo tanto $R(A^{\top})=R(B^{\top})$. Ahora si se asume que $R(A^{\top})=R(B^{\top})$. Esto quiere decir que cada fila de $A$ es una combinación lineal de las filas de $B$. Es to quiere decir, quiere decir que existe operaciones de Gauss sobre las filas de $A$ que transforma a $A$ en $B$. Y por lo tanto con eso se establece el resultado final del teorema 2.
Un argumento similar también dice que $E_{_A^{\top}}=E_{_{B^{\top}}}$ si y solo si $A^{\top}\stackrel{fila}{\longleftrightarrow} B^{\top}$. También se puede concluir que $E_{_{A^{\top}}}=E_{_{B^{\top}}}$ es equivalente a $R(A)=R(B)$ y esto también es equivalente a $N(A^{\top})=N(B^{\top})$.
Otro resultado con respecto a la transpuesta de $A$ dice:
Teorema 3.Para cada matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$ se cumple que $\dim R(A)=\dim R(A^{\top})$.Sabiendo que una matriz se dice que es de rango completo si y solo si $\dim R(A)=\min(m,n)$. Entonces podemos enunciar el siguiente teorema donde se establecen algunas de las relaciones principales del los cuatros espacios fundamentales.
Teorema 3. Si una matriz $A\in \mathbb{F}^{n,m}$ es de rango completo, entonces:
- Si $m=n$, entonces: \[\dim R(A)=\dim R(A^{\top})=n=m\Leftrightarrow \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}=N(A)=N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{m};\]
- Si $n < m$, entonces: \[\dim R(A)=\dim R(A^{\top})=n < m \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}\varsubsetneq N(A)\subset \mathbb{F}^{m},\\ \{0_{_{\mathbb{F}^{n}}}\}=N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{n};\end{array}\right.\]
- Si $m>n$, entonces: \[ \dim R(A)=\dim R(A^{\top})= m < n \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \{0_{_{\mathbb{F}^{m}}}\}= N(A)\subset \mathbb{F}^{m},\\ \{0_{_{\mathbb{F}^{n}}}\}\varsubsetneq N(A^{\top})\subset \mathbb{F}^{n}; \end{array}\right.\]
Recordemos que el rango de una matriz $A$ es el número de pivotes columna de la matriz escalonada reducida $E_{_A}$ y que coincide con la dimensión de $R(A)$. Si una matriz $A$ de orden $m\times n$ tiene $rang(A)=n$, esto quiere decir dos cosas: Primero, $n\leq m$; y segundo, que cada columna de $E_{_A}$ tienes un pivote. Es decir, que no hay variables libres en la solución de la ecuación $Ax=0$, y así $x=0$ es la única solución. Por lo tanto $N(A)=0$. Por otro lado al estudiar $N(A^{\top})$ es necesario considerar dos casos $n=m$ o $n
Para terminar enunciamos el siguiente resultado que relaciona las dimensiones de los espacios nulos y el rango de una transformación lineal en espacios vectoriales de dimensión finita. Este resultado se suele llamar Teorema de la Nulidad y el Rango, donde la nulidad de una transformación lineal es la dimensión de su espacio nulo, y el rango es la dimensión de su espacio de columna. Este resultado también se le conoce como el Teorema de la Dimensión.
Si consideramos el producto punto de dos vectores $u, v\in \mathbb{F}^{m}$ como el producto matricial definido por $u\cdot v =u^{\top}v$. Podemos observar lo siguiente:
\begin{equation}
Ax=\left[\begin{array}{c}
A_{_{1:}}x\\
\vdots \\
A_{_{m:}}x
\end{array}\right]
\end{equation}
Note que las filas $A$ son las columnas de $A^{\top}$ por lo tanto $A^{\top}_{_{i:}}\cdot x= A_{_{i*}}x$ Si $x\in N(A)$, entonces se puede concluir que $N(A)$ es el complemento ortogonal de $R(A^{\top})$, por lo tanto $N(A)\cap R(A^{\top})=\emptyset$. Por otro lado si la dimensión de $\dim R(A)=r$ entonces la dimensión del nulo $\dim N(A) = m-r$. Y $\dim R(A^{\top})=r$ luego $\dim N(A^{\top})=n-r$. Note que $\dim N(A)\oplus R(A^{\top}) = m$ y $\dim N(A^{\top})\oplus R(A) = n$ es decir que $ N(A)\oplus R(A^{\top})\cong \mathbb{F}^{m}$ y $N(A^{\top})\oplus R(A) \cong \mathbb{F}^{n}$. Estas relaciones se resumen en la Figura 2.
Bueno, ya nos hemos extendido los suficiente por esta ocasión. Esperamos que aprovechen mucho este post.
Figura 2. Relaciones entre los cuatro espacios fundamentales de $A:\mathbb{F}^m\to\mathbb{F}^n$.
Teorema 4.
Para cada transformación lineal $T:V\to W$ entre espacios vectoriales $V$ y $W$ se cumple que
\begin{equation}
\dim N(T)+\dim R(T) = \dim V.
\end{equation}
Referencias
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